注意看最后一个式子所描述的空气阻力，它正是斯托克斯定律所给出的表达式，其中μ是空气的粘滞系数，R是雨滴半径，v是雨滴相对空气的速度，这三个量的一次方相乘再乘以6π就得到了球形物体在不可压缩定常流体中所受到的阻力。本节课的任务，正是从基本的流体力学最基本的NS方程出发，推导出斯托克斯定律。不过在进入正题前，先看看斯托克斯定律在雨滴下落情景中发挥的作用。

和自由落体的速度线性增长不同的是，在考虑空气阻力的情况下，雨滴的下落速度在t→∞时无限逼近一个有限值，它就是雨滴下落的最终速度

算出雨滴下落的最终速度为10m/s，和大家日常生活的经验十分吻合，说明斯托克斯定律对空气阻力的描述相当地好。

以上计算只能是针对0.3mm的小雨滴，或者说，它更接近云层中的水雾。现实中，云层中的水雾会汇聚成毫米量级的大水珠再落下来，水珠下落时受到空气阻力还会发生形变，所以斯托克斯定律并不能完美地描述雨滴实际受到的阻力。事实上，此时占主导地位的阻力是一个与速度平方成正比的压降阻力。不过在本堂课，我们更关心斯托克斯定律的导出，至于斯托克斯定律在雨滴下落问题的适用性，可以认为，在雨滴很小的情况下，它总是近似成立的。

关于斯托克斯力并不是大部分情况下雨滴所受空气阻力的论述，是课后由孙昌璞院士友情指正的，特此致谢。

上一节求解了雨滴在受到与速度成正比的空气阻力下的运动过程，那为什么空气阻力可以具有与速度的线性关系？斯托克斯定律为什么能在小雨滴在空气中下落的情形下成立？它又是否是对所有的流体导致的阻力都适用的呢？

带着这样的疑问，张朝阳开启了本场“马拉松”课程的正式内容。球形雨滴在空气中下落，这个过程具有以下落方向为轴的旋转对称性，而雨滴本身又是球对称的，所以自然地可以想到要把这些拉普拉斯算子在柱坐标或者球坐标下写开。张朝阳选择先以下落方向为极轴，建立了如下所示的球坐标系。

NS方程本质上就是牛顿第二定律在流体上的应用，方程的左边类似于ma，其中加速度包含速度场对时间的偏导项，和速度场对空间偏导后再对时间求偏导，方程的右边类似于F，其中包含了压强梯度所导致的正向压力差，和流体运动的粘性所导致的粘滞力。

现在假设流体已经达到了稳态，所以NS方程左边第一项，也就是关于时间求偏导的项为0。而方程左边的第二项是一个速度场关于空间分布变化率的项，可以进一步假设流体微元在随着流线运动的过程中速度的空间变化率是缓慢的，也就是近似认为NS方程左边第二项为0。经过稳态和空间缓变的这样两个假设，NS方程被简化为了一个线性的微分方程

它是速度场的旋度，称为涡度(vorticity)。这样就能把(1)式右边也降阶为一阶导的形式

比较(5)和(7)，不难看出对于同样是无散的速度场和磁场，都可以利用它们的旋度，也就是涡度和电流密度，来作为中间变量进而简化方程。

上一节将NS方程简化成了两个泊松方程，一个是关于压强标量的式(8)，另一个是关于涡度矢量的式(9)。标量的泊松方程在之前的课上有相当多的处理经验，但矢量的泊松方程是之前从没遇到过的，为此需要先研究一下矢量被拉普拉斯算符作用后得到的是什么。

根据流体运动的轴向对称性，速度矢量应该只有径向分量v_r和极角方向的分量v_θ，而没有方位角方向上的分量v_?，并且各方向的速度分量对?的求导都为0。基于对速度场的轴对称性的认知，可以在球坐标下写出涡度

这是一个矢量场的泊松方程。首先来计算第一次nabla算符作用后的结果，它将被作用的矢量沿不同方向求导，但对求导方向的基矢和被作用后的矢量的基矢这两个基矢而言做了张量积，张量积既不是点乘也不是叉乘，而是把两个基矢直接放在一起作为二阶张量的基底，以三维空间来看，它包含了3×3=9个系数和基底。用?代表矢量的张量积，可以写成

上式第二项中被大括号标出的部分为0，因为球坐标的散度公式为

第二个等式新定义了一个矢量\vec{e}_ρ，它是从\vec{e}_?对?求导出来的。方位角基矢与r和θ无关，只会随着?变化，且变化的矢量是指向极轴的一个向内的矢量，类似于柱坐标下的径向矢量。

或者更显式地，把它写成一个2×2的矩阵形式（因为ω没有z方向分量，可以把问题简化在xy平面上）

最后一步把第一项又写回到球坐标的形式，第二项则引入了矢量

将压强场的泊松方程(8)式和涡度系数的方程(15)写在球坐标下，并且注意到它们在?方向上的对称性，可以得到

一个朴素的想法是，先将这些量的一次方相乘起来，看看量纲是什么

再来看(16.b)的涡度场方程，径向部分的分析和压强场是一样的，而角向部分相比(18)式会多出一项

如果和压强场一样，也朴素地假设它含有R的一次项和v?的一次项，那么可以推断(22)式只含有r^(-2)的项，也就是l=1。由于

上一节利用之前的物理课解氢原子薛定谔方程的经验，成功得出了压强场(20)和涡度场(23)，但它们各自都有一个待定系数，需要用边界条件来定出。然而涡度的边界条件是难以给定的，因为根据(10)式，它和速度的两个分量vr、vθ的导数都有关系。回忆引入涡度时，出发点是为了将(1)式右边的二阶导变成一阶导，相当于视角升了一个台阶，从而降低微分的阶数。那么有没有可能再转化一次视角，把vr和vθ统一成另一个中间量，以便于引入边界条件呢？

答案是可行的。在引入涡度时，曾将速度场类比成磁场，因为它们都具有无散的性质，可以通过(2)式将拉普拉斯算子转化为两个散度的依次作用。无散的矢量场还有一个性质，就是它们总可以写成另一个矢量场的旋度，正是这一点允许从磁场定义一个磁矢势。同理，可以定义一个矢量场\vec{Ψ}，它的旋度等于速度场，从而将视角降一个台阶

再代入(23)式，就可以从涡度的场方程转换到斯托克斯流函数的方程

代回检验，不难发现这个形式能非常方便地配平(25)式中有关角向的部分的幂次

这是一个变系数非齐次线性微分方程，可以确定它的通解是这些幂函数的和

在用边界条件定下速度场和涡度场后，就可以联立(6)和(20)来确定压强场的待定系数B?了。

最终作用在球体上的力，就是这个二阶的应力张量与球面的法向量\vec{e}?点乘得到的一阶矢量在整个球面上的积分。正是由于二阶张量有非对角项，点乘出的力并不一定垂直于法向，而是会有一定的切向分量。

根据轴对称性，压强在球面上的积分只剩下沿极轴z方向的分量，其他方向的分量会互相抵消，所以可以只对压强的z向分量做积分

上式最后一步代入r=R时，r方向上的速度梯度刚好是一个极值点，所以不贡献粘滞力，只有θ方向贡献出来一个切向的压强。将这个压强的z分量在球面上积分

这说明这一项在球面不会贡献压强。其中第二个等号运用了球坐标单位基矢的求导关系

回顾整堂课的推导过程，虽然要解决的是流体力学问题，但其中贯穿了各个领域的知识，比如从电动力学的矢量微积分引入了涡度、速度、斯托克斯流函数的“三层楼”，借用量子力学中的球谐函数解出了涡度角向分量的泊松方程。当然，从历史进程来看，数学家们先是在研究流体力学时发展了这些工具，再到后来发展电动力学和量子力学时，人们就可以直接使用这些已经发展好的工具。而《张朝阳的物理课》研习路径则刚好反了过来，是先学习了电动力学和量子力学，再来研究这个大部分普通物理课上一笔带过的斯托克斯定律。张朝阳以此提示大家，学科的发展本就没有领域的限制，只有将一个领域的内容学扎实了，才能在面对新问题时灵活运用先前的知识。

本堂课也是在向斯托克斯致敬。斯托克斯在剑桥执教期间对流体力学领域做出很多奠基性的贡献，并早在1851年就得出了今天所讲的斯托克斯定律。他的研究对后世产生了深远的影响，比如矢量分析的工具帮助了麦克斯韦在1865年建立起电磁方程组，密立根油滴实验用到了斯托克斯定律来确定油滴的质量，风洞试验、汽车风阻模拟、机翼设计等工程问题也处处有NS方程的身影。NS方程的解的存在性与光滑性至今仍是数学界的研究热点，并在21世纪初被列为千禧年七大数学难题之一。尽管现在能借助计算机数值求解NS方程，但寻找解析解依旧是帮助人们理解物理图像的重要手段之一。

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